Dans le paradoxe d'Achille et la Tortue, énoncé par Zénon d'Élée (mais reformulé ici de façon plus moderne), Achille propose une course à la Tortue. Achille avance à 10 m/s et la tortue à 5 m/s. Généreux, Achille laisse 20 m d'avance à la tortue.

• Achille parcourt les 20 mètres qui le sépare du point de départ de la tortue, mais pendant ce temps la tortue a avancé de 10 mètres,
• Achille parcours encore ces 10 mètres, mais la tortue en a profité pour parcourir 5 m,
• Achille parcours encore ces 5 mètres, mais…

Ainsi, Achille effectue une infinité de rattrapage mais n'atteint jamais la tortue.

Pour Aristote, on peut diviser sans fin une portion de droite en portions de plus en plus petite. Ce processus peut être répété indéfiniment. C'est un infini potentiel : on peut progresser aussi loin que l'on veut sans rencontrer de fin.

Au contraire, Aristote ne pense pas (comme on pourrait le dire aujourd'hui) que la droite est une infinité de points. Si la droite est une infinité de points, indivisibles par définition, alors cette infinité existe dans son entièreté, qu'on l'a parcourt ou non. Même dans un segment il y a une infinité de points. C'est un infini en acte.

Cantor est le créateur de la théorie des ensembles.

Pour lui, un ensemble est “une pluralité pouvant être pensée comme une unité autrement dit, toute collection d'objets pouvant être réunis en un tout par une loi”.

On distingue ainsi des ensembles

• définis en extension comme $\{1; 9 ;12; 25\}$
• définis en compréhension comme $\{x, x^2 < 100\}$

Pour Cantor, l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels est bien sûr infini. Mais un ensemble dont on pourrait énumérer les éléments sans en oublier un seul, ne serait pas plus grand que $\mathbb{N}$.

Prenons par exemple les nombres rationnels $\mathbb{Q}$. Ces nombres s'écrivent $\frac{p}{q}$. On sait que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$ et on a l'intuition que $\mathbb{Q}$ est beaucoup plus gros que $\mathbb{N}$. Et pourtant, Cantor propose l'argument suivant :

Si on compte les rationnels en suivant les bandes de couleur, on comptera tous les rationnels sans oublier aucun. En ce sens, $\mathbb{Q}$ n'est pas plus grand que $\mathbb{N}$. Comme $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$, on en déduit qu'ils ont la même taille.

Cantor appelle Cardinal la taille, éventuellement infinie, d'un ensemble.

$$card(\mathbb{Q}) = card(\mathbb{N})$$

Ensuite, Cantor se demande ce qu'il en est pour les réels.

C'est l'argument de la diagonale de Cantor : supposons que l'on ait placé tous les réels entre 0 et 1 dans une liste. Le premier élément de la liste est par exemple 0,45…, le 2e est par exemple 0,29…, etc.

On pourra toujours construire un réel qui a sa première décimale différente de la première décimale du premier nombre, la 2e décimale… de sorte que ce réel n'est pas dans la liste.

Autrement dit, on ne peut pas placer tous les réels dans une liste et donc il y a plus de réels que d'entiers.

$$card(\mathbb{R}) > card(\mathbb{N})$$

Cantor les réels de $[0;1]$ puis,

• il retire le tiers central,
• sur les deux bandes restantes, il retire le tiers central,
• sur les bandes restantes, il retire le tiers central,
• et ainsi de suite à l'infini

À la fin, on à l'impression qu'il ne reste rien. Et pourtant, ce qui reste, parfois appelé poussières de Cantor est aussi grand que $\mathbb{R}$ !

Et même, Cantor montre qu'il n'y a pas plus de points dans un carré ou un cube que sur un segment !

Ces infinis étranges sont très utiles, mais les mathématicien s'en méfient.

Par exemple, en manipulant sans précautions les infinis, on arrive à “prouver” que

$$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = - \frac{1}{12}$$